共測量による分数指導（分数で量を測る）

一般的な分数指導

最初にお断りしておくと、marimentでは、「一般的な分数指導」を行っています。
本稿でご紹介する共測量による分数指導は、現時点では指導研究課題であり、教材にもこの内容はありません。
しかし、分数の量の本質に迫る指導方法であり、機会があれば、夏休みのイベントなどで取り扱いたいと思います。

小数は、１未満のはしたを、十進位取り記数法により、 $0.1$ 、 $0.01$ 、 $0.001$ ・・・のスケールで測っていきます。
いわば、分母が $10^{n}$ （ $n$ は自然数）の単位分数 $\frac{1}{10^{n}}$ ではしたを測る方法と言えます。
子どもは、小数を分数で表す混合計算の学習単元で、この関係に気づくことができます。
これに対し、分数は、分母が $10^{n}$ に固定されずに、自由に決めることができます。
（「分母を自由に決める」「分母を求める」という表現に違和感を持つ方がいるのは当然です。我々もそうした学習体験はありませんし、教科書にも載っていません。もしかしたら、小数の学習でも、量を測る学習経験は十分とは言えなかったのではないでしょうか。こうした背景が本稿を記すきっかけとなりますので、馴染みにくいとは思いますが、最後まで読み進めて下さい。）

量を測る前に、小学校で分数はどのような場面で登場するでしょうか。
最初は、「いくつに分けたいくつ分」という分割分数と呼ばれる指導から始めるのが一般的です。ケーキを家族で分けるなど、分母は予め与えられています。この時、分ける対象が、 $m^{2}$ や、 $L$ など普遍単位で表された場合を「分割量分数」と呼び、個別の量（ピザやケーキなど）を分ける分割分数と分ける場合があります。
他に、割合分数、商分数（わり算を分数で表す）などに分類することができます。
前置きが長くなりましたが、このコラムでは、分母を予め与えられた数として認識するのではなく、分母を子供が導き出す指導方法について紹介します。

共測量を求めて分数で量を測る

Step1
測定対象の量（白いタイル）を基準となる量（グレーのタイル）で測ります。２個分とはしたが出ます。
Step2
基準となる量（グレーのタイル）を、Step1で求めた測定対象の量（白いタイル）のはした（＝余り）で測ります。１個分とはしたが出ます。
Step3
Step2で求めた測定対象の量（白いタイル）のはしたを、Step2で求めた、基準となる量（グレーのタイル）のはした（＝余り）で測ります。１個分とはしたが出ます。
Step4
Step3で求めた、基準となる量（グレーのタイル）のはしたを、Step3で求めた測定対象の量（白いタイル）のはしたで測ります。２個分で割り切れました。この例では、測定対象の量（白いタイル）のはしたが共測量となります。
Step5
共測量を基準に、Step4からStep1に遡ると、共測量は基準量を５等分した量であることが求まり、分母が５と決定します。今回の測定量は、 $\displaystyle 2\frac{3}{5}$ であることがわかりました。基準量を $1m^{2}$ とすると、 $\displaystyle 2\frac{3}{5}m^{2}$ という量が求められました。