たし算の素過程

なかま集め、集合数と順序数の数概念、たし算の意味の学習を終えてから、計算練習に入ります。
たし算の素過程を2－9分類法で整理して表すと以下のようになります。

$\begin{array}{rr} & 2 \\ + & 2 \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{rr} & 2 \\ + & 0 \\ \hline \end{array}$ ↓ $\begin{array}{rr} & 0 \\ + & 2 \\ \hline \end{array}$ ↓ $\begin{array}{rr} & 0 \\ + & 0 \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{rr} & 9 \\ + & 9 \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{rr} & 9 \\ + & 1 \\ \hline \end{array}$

2+2型の指導順序

$\begin{array}{rr} & 2 \\ + & 2 \\ \hline \end{array}$ 型：水道方式では５のタイルを用いることから、繰り上がりのない素過程の指導順序は以下のような順番になります。

2+2型
3+2型
5+2型、2+5型
7+2型、2+7型
4+4型

１は答えが４以下の問題
２は５を合成する（答えが５になる）問題
５は４以下同士をたして５より大きくなる、５進くり上がりの問題

２位数の十進位取りの指導

ここでは省略しますが、9+9型の指導に入る前に、２桁の仕組みをタイルを用いて指導します。

十の位	一の位

３ぼん	６こ
３６
さんじゅうろく

9+9型の指導順序

$\begin{array}{rr} & 9 \\ + & 9 \\ \hline \end{array}$ 型：水道方式では５－２進法（ゴニシンホウ）を使うのが特徴です。

7+5型:７を「５と２」にわけ、5+5で十をつくった後に2を加える。
7+7型:それぞれの７を「５と２」にわけ、5+5で十をつくった後に2+2を加える。
8+7型:８と７をそれぞれ「５と３」「５と２」にわけ、5+5で十をつくった後に3+2を加える。
9+4型:５－２進法の特徴的な計算方法。９を「５と４」にわけ、この４と加数の４で「５と３」をつくる。５が２つできたので5+5で十をつくり、3を加える。
9+9型:９を「５と４」にわけ5+5で十をつくり、4+4を加える

５－２進法は、十の合成分解の練習をせずに、答えを出せるという長所がありますが、水道方式で教える学習塾や学校では、必ずしも５－２進法に拘らないで十の合成でくり上がりの指導をする場合があります。
水道方式に関する遠山啓の初期の著作物では５のタイルが存在せず、十の合成で説明していましたが、1970年代に入り、５のタイルの出現と同時に５－２進法での説明に切り替わっています。
上の４番は、十の合成で考えると９の補数１を４から取り、十を作る。１を取り除かれた３を加える。という一般的な考え方になります。